للعثور على العنصر الأصغر ال k في الجمع بين المصفوفتين المرتبتين S و T، يمكننا استخدام تعديل على فكرة البحث الثنائي. تفترض الخوارزمية أن كل من المصفوفتين S و T مرتبتين بالفعل.
للبدء، نقوم بتحديد نطاق البحث للعناصر التي سنقوم بالبحث عن العنصر ال k فيها. يتراوح النطاق بين أدنى عنصر في S و T وأعلى عنصر في S و T. ثم نقوم بتطبيق البحث الثنائي على هذا النطاق.
في كل خطوة من البحث الثنائي، نقوم بحساب عدد العناصر الأصغر من العنصر المتوسط في S و T. إذا كان العدد الإجمالي لهذه العناصر أقل من k، فإننا نعلم أن العنصر ال k ليس في النطاق الذي نبحث فيه، لذا نقوم بتحديد النطاق الجديد للبحث. إذا كان العدد الإجمالي للعناصر الأصغر أكبر من أو يساوي k، فإن العنصر ال k يمكن أن يكون العنصر المتوسط نفسه أو أصغر منه.
يتكرر هذا العمل حتى نحدد العنصر الفعلي الذي يحتل الموضع k.
هذا الخوارزمية يمكن أن تحقق تعقيد O((log n)^2)، حيث أن كل خطوة من البحث الثنائي تأخذ O(log n)، ويتم تكرار هذه الخطوات حتى يتم الوصول إلى العنصر ال k.
الآن، دعنا نقوم بتلخيص الخوارزمية في خطوات:
- حدد النطاق الأولي للبحث بين أدنى عنصر في S و T وأعلى عنصر في S و T.
- قم بتطبيق البحث الثنائي داخل هذا النطاق.
- في كل خطوة من البحث الثنائي، احسب عدد العناصر الأصغر من العنصر المتوسط في S و T.
- إذا كان العدد الإجمالي لهذه العناصر أقل من k، ثم حدد النطاق الجديد للبحث.
- إذا كان العدد الإجمالي للعناصر الأصغر أكبر من أو يساوي k، فإن العنصر ال k يمكن أن يكون العنصر المتوسط نفسه أو أصغر منه.
- تكرر الخطوات 2-5 حتى تحدد العنصر ال k.
باستخدام هذه الخوارزمية، يمكننا العثور على العنصر ال k بتعقيد O((log n)^2).
المزيد من المعلومات
بعد شرح الخوارزمية التي تستخدم البحث الثنائي المعدّل للعثور على العنصر الـ k في الجمع بين المصفوفتين المرتبتين S و T بتعقيد O((log n)^2)، يمكننا الآن التركيز على بعض النقاط الإضافية والتحسينات الممكنة لهذا النهج.
أولاً، يجب ملاحظة أن الخوارزمية تتطلب حساب عدد العناصر الأصغر من العنصر المتوسط في S و T في كل خطوة من البحث الثنائي. يمكن تحسين هذه العملية عن طريق استخدام البحث الثنائي مرة أخرى داخل كل مصفوفة للعثور على العنصر الذي يأتي قبل أو بعد العنصر المتوسط بنفس الفاصلة التي تم استخدامها في البحث الثنائي الأساسي. هذا يسمح بتخفيض تعقيد حساب عدد العناصر الأصغر وتحسين أداء الخوارزمية بشكل عام.
ثانياً، يمكن تطبيق تقنية القطع المتساوية (Divide and Conquer) لتقليل العمق الذي يصل إليه البحث الثنائي في كل خطوة. بدلاً من تقسيم النطاق بالكامل في كل خطوة، يمكن تقسيم النطاق إلى قطاعات أصغر والبحث فقط في القطاع الذي يحتوي على العنصر ال k المحتمل. هذا يقلل من عدد العمليات اللازمة في كل خطوة ويزيد من كفاءة البحث.
ثالثاً، يجب أن نعتبر التعامل مع الحالات الخاصة، مثل عندما تكون إحدى المصفوفتين فارغة أو عندما يكون العنصر ال k موجودًا في إحدى المصفوفتين بالفعل. في هذه الحالات، يمكننا تخطي عملية البحث الثنائي والعودة إلى العنصر المطلوب مباشرة.
باستخدام هذه التحسينات والملاحظات، يمكن تطوير الخوارزمية لتحسين أدائها وكفاءتها بشكل كبير، مما يسمح بالعثور على العنصر الـ k في الجمع بين المصفوفتين المرتبتين S و T بتعقيد O((log n)^2) بشكل فعال وفعال.
