رسم دوال كسرية باستخدام بايثون: التحليل الشامل مع الأسيمبتوتات ونقاط التقاطع

في هذا المقال، سنقوم بمناقشة كيفية رسم أي دالة كسرية باستخدام مكتبة ماتبلوتليب في لغة البرمجة بايثون، مع التركيز على مراعاة الأسيمبتوتات. يتيح لنا استخدام ماتبلوتليب فهم تصرفات الدوال والتركيز على نقاط مهمة مثل الأسيمبتوتات.

أولاً وقبل أي شيء، يتعين علينا قبول معادلة الدالة الكسرية من المستخدم. لذلك نقوم بالتحقق من البيانات الناتجة عن المستخدم باستخدام الشيفرة التالية:

pythonCopy code
numerator = input("البسط: ")
denominator = input("المقام: ")

بعد أن قبلنا المعادلة من المستخدم، يجب أن نتأكد من وجود أسيمبتوتات. الأسيمبتوت هي نقاط يكون فيها المقام مساويًا للصفر. لنقم بفحص ذلك، نستخدم الشيفرة التالية:

pythonCopy code
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
asymptotes = sp.solve(denominator, x)

بهذه الطريقة، يمكننا الحصول على الأسيمبتوتات. الآن، سنقوم برسم الدالة الكسرية باستخدام ماتبلوتليب، وسنعتني برسم الأسيمبتوتات أيضاً. الشيفرة التالية تقوم بذلك:

pythonCopy code
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# تحويل المعادلة إلى دالة باستخدام ماتبلوتليب
def rational_function(x):
    return eval(numerator) / eval(denominator)

# تحديد نطاق الرسم
x_vals = np.linspace(-10, 10, 1000)
y_vals = rational_function(x_vals)

# رسم الدالة
plt.plot(x_vals, y_vals, label=f'{numerator}/{denominator}')

# رسم الأسيمبتوتات
for asymptote in asymptotes:
    plt.axvline(x=asymptote, linestyle='--', color='red', label=f'Asymptote at x={asymptote}')

# تزيين الرسم
plt.title('Graph of Rational Function with Asymptotes')
plt.xlabel('x-axis')
plt.ylabel('y-axis')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

باستخدام هذه الشيفرة، يمكننا الآن رسم أي دالة كسرية ومراعاة الأسيمبتوتات. يمكن للمستخدم إدخال المعادلة بحرية، وسيقوم البرنامج برسم الدالة وإظهار الأسيمبتوتات بشكل منفصل.

في الختام، يمكننا القول أن فهم كيفية رسم الدوال الكسرية باستخدام بايثون يساعد في توضيح التفاصيل الرياضية لهذه الدوال ومراعاة الأسيمبتوتات تعزز من دقة الرسم.

بالتأكيد، سنواصل التعمق في معلومات حول كيفية رسم الدوال الكسرية باستخدام بايثون، مع التركيز على الأسيمبتوتات وتحليل سلوك الدوال.

في هذا السياق، يمكننا استخدام مكتبة SymPy لتحليل الدوال الكسرية والحصول على معلومات إضافية. على سبيل المثال، يمكننا استخدام SymPy للعثور على النقاط التي تتقاطع مع المحورين الرئيسيين (x و y).

pythonCopy code
# الحصول على نقاط التقاطع مع محور x و y
x_intercepts = sp.solve(numerator, x)
y_intercept = rational_function(0)

نضيف هذه النقاط إلى الشيفرة لتحسين دقة التحليل وتوفير معلومات إضافية حول سلوك الدالة.

pythonCopy code
# إضافة نقاط التقاطع مع محور x إلى الرسم
for intercept in x_intercepts:
    plt.scatter(intercept, 0, color='green', marker='o', label=f'Intercept at x={intercept}')

# إضافة نقطة التقاطع مع محور y إلى الرسم
plt.scatter(0, y_intercept, color='blue', marker='o', label=f'Intercept at y={y_intercept}')

بهذا الشكل، يمكننا إظهار نقاط التقاطع مع المحورين الرئيسيين، والتي تسهم في توضيح سلوك الدالة بشكل أكبر.

علاوةً على ذلك، يمكننا استخدام SymPy لحساب المشتقة الأولى والثانية للدالة الكسرية، وهو ما يمكن أن يقدم لنا فهمًا أفضل لنقاط الإقلال والنقاط القصوى.

pythonCopy code
# حساب المشتقة الأولى والثانية
derivative_1 = sp.diff(rational_function(x), x)
derivative_2 = sp.diff(derivative_1, x)

# طباعة المشتقات
print(f'First Derivative: {derivative_1}')
print(f'Second Derivative: {derivative_2}')

هذه المعلومات تساعد في فهم الاتجاهات العامة للدالة، وتحديد نقاط الإقلال والنقاط القصوى، وهو أمر مهم لتحليل السلوك الرياضي للدوال الكسرية.

باستخدام هذه الإضافات، يمكن للبرنامج الآن أن يقدم تحليلاً أعمق وأكثر دقة للدوال الكسرية، مما يساعد المستخدم في فهم وتصور الخصائص الرياضية لتلك الدوال.